Тренировочная работа №2 по математике профиль 11 класс 18.12.2025: задания с ответами
Вариант МА2510211
Часть 1. Задания 1–12. Краткий ответ
1. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 48. Найдите длину её средней линии.
Ответ: ___________
2. На координатной плоскости изображены векторы a, b и c. Найдите значение выражения (a − c) ⋅ b.
Ответ: ___________
3. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 50. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Ответ: ___________
4. Какова вероятность того, что номера двух случайно выбранных паспортов оканчиваются одной и той же цифрой?
Ответ: ___________
5. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стратор» по очереди играет с командами «Ротор», «Протор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стратор» будет начинать только вторую и последнюю игры.
Ответ: ___________
6. Найдите корень уравнения log3 (x + 4) = log3 (2x − 12).
Ответ: ___________
7. Найдите значение выражения 3x ⋅ (6x10)3 : (6x6)5 при x = 60.
Ответ: ___________
8. На рисунке изображён график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−22; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−17; 0].
Ответ: ___________
9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 − √(2gH0) ⋅ kt + (g/2) k2 t2, где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 5 м — начальная высота столба воды, k = 1/800 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте, что g = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Ответ: ___________
10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 16 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?
Ответ: ___________
11. На рисунке изображены графики функций f(x) = √x и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ: ___________
12. Найдите наибольшее значение функции y = 3x5 − 5x3 + 15 на отрезке [−4; 0].
Ответ: ___________
Часть 2. Задания 13–19. Развёрнутый ответ
13.
а) Решите уравнение sin(π/2 − x/2) − sin(x − π) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−8π; −5π].
14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на рёбрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что 2A1M = 3MA, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все рёбра призмы равны 20.
15. Решите неравенство log2(6log6(6 − x) + 26log26(x + 26)) − 3 ≥ log6(x2 − 5x).
16. 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 21,6 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
17. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC = 30°, ∠ABC = 105°.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a(x + 9/x)2 + 2(x + 9/x) − 64a + 16 = 0 имеет ровно два различных корня.
19. На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136.
а) Можно ли получить сумму 133, если n = 70?
б) Можно ли получить сумму 133, если n = 90?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 133?
Вариант МА2510212
Часть 1. Задания 1–12. Краткий ответ
1. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 96. Найдите длину её средней линии.
Ответ: ___________
2. На координатной плоскости изображены векторы a, b и c. Найдите значение выражения (a + b) ⋅ c.
Ответ: ___________
3. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 92. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Ответ: ___________
4. Рассмотрим два случайных паспорта. Какова вероятность того, что последняя цифра в номере первого паспорта отличается от последней цифры в номере второго паспорта?
Ответ: ___________
5. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Протор» по очереди играет с командами «Стартер», «Ротор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Протор» не будет начинать ни одной игры.
Ответ: ___________
6. Найдите корень уравнения log8 (x + 5) = log8 (2x − 2).
Ответ: ___________
7. Найдите значение выражения 5x ⋅ (8x5)2 : (8x10) при x = 5.
Ответ: ___________
8. На рисунке изображён график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−10; 12). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 10].
Ответ: ___________
9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 − √(2gH0) ⋅ kt + (g/2) k2 t2, где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 5 м — начальная высота столба воды, k = 1/900 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте, что g = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Ответ: ___________
10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 58 часов после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?
Ответ: ___________
11. На рисунке изображены графики функций f(x) = xk и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ: ___________
12. Найдите наибольшее значение функции y = 3x5 − 20x3 − 19 на отрезке [−4; 0].
Ответ: ___________
Часть 2. Задания 13–19. Развёрнутый ответ
13.
а) Решите уравнение sin(3π/2 + x/2) − sin(3π + x) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−10π; −7π].
14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на рёбрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что 2A1M = 3MA, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все рёбра призмы равны 40.
15. Решите неравенство log6(5log5(5 − x) + 3log31(x + 31)) + 3 ≥ log2(x2 − 4x).
16. 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 19,8 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 7 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
17. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 8√6, ∠BAC = 30°, ∠ABC = 105°.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a(x + 9/x)2 + 3(x + 9/x) − 49a + 21 = 0 имеет ровно два различных корня.
19. На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136.
а) Можно ли получить сумму 134, если n = 80?
б) Можно ли получить сумму 134, если n = 90?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 134?
⭐️ Получить все ответы ⭐️
Если вы хотите проверить свои решения или подготовиться к экзамену, вы можете получить полные ответы и подробные решения ко всем заданиям этой тренировочной работы.