Итоговая диагностическая работа: Вероятность и статистика 11 класс 11.03.2026

В этой статье представлен полный разбор демонстрационного (демоверсия) варианта диагностической работы МЦКО по учебному курсу «Вероятность и статистика» для 11-х классов. Работа включает в себя 13 заданий базового, повышенного и высокого уровней сложности. Мы подробно разобрали каждое задание, от вычисления долей населения до сложных вычислений гипергеометрической вероятности и математического ожидания.

Ключевые слова: диагностическая работа, вероятность и статистика, 11 класс, МЦКО, 11 марта 2026, ответы, решения, данные о численности населении в нескольких регионах

Проект «Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика» играет ключевую роль в формировании аналитического мышления у современных школьников. Эта программа направлена на углубленное изучение математики и смежных дисциплин, что позволяет учащимся не просто заучивать формулы, но и понимать принципы работы с большими данными, оценивать риски и делать обоснованные прогнозы. В условиях стремительной цифровизации эти навыки становятся базовой необходимостью для успешной карьеры в IT, экономике и инженерии.

11 МАРТА 2026 МАТВЕРТИКАЛЬ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА ОТВЕТЫ

Важной частью подготовки в рамках инициативы является умение применять статистические методы на практике. Школьники учатся работать с таблицами, диаграммами рассеивания, понимать законы распределения и применять формулу Бернулли. Диагностические работы МЦКО отлично отражают суть этого подхода, предлагая реальные сценарии, например, анализ демографических показателей или расчет надежности технических систем.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ от 11.03.2026 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Система оценивания диагностической работы построена максимально прозрачно и объективно. Каждый верный ответ приносит учащемуся 1 балл. Максимально возможное количество баллов за всю работу — 13. Задание признается выполненным верно только в том случае, если ответ ученика полностью совпадает с установленным эталоном. Важно отметить, что работа проводится в компьютерном формате, что требует от школьников предельной внимательности при вводе десятичных дробей и округленных значений.

МАТ ВЕРТИКАЛЬ 11.03.2026 ОТВЕТЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКЕ

На выполнение всех 13 заданий отводится ровно 90 минут, не считая автоматических пятиминутных перерывов для разминки глаз. Использование калькулятора официально разрешено спецификацией, что переносит фокус проверки с навыков ручного счета на умение выстраивать правильные математические модели. Успешное прохождение этого тестирования демонстрирует высокий уровень готовности к выпускным экзаменам и дальнейшему обучению в профильных вузах.

11 КЛАСС ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА ОТ 11 МАРТА 2026 ОТВЕТЫ

Часть 1. Задания 1–7. Описательная статистика и базовые вероятности

Задание 1

В таблице показаны данные о численности населении в нескольких регионах Приволжского федерального округа к концу 2020 г. Найдите долю работающего населения в Пензенской области в 2020 г. Ответ дайте в процентах с округлением до целых.

(Регион, Численность населения тыс. чел., Численность работающего населения тыс. чел., Доля работающего населения %: Оренбургская область, Пензенская область, Самарская область, Саратовская область, Ульяновская область)

ИТОГОВАЯ ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА ОТВЕТЫ

Решение:

Из исходных данных находим показатели Пензенской области:

Общая численность: 1266,0 тыс. чел.

Работающее население: 555,9 тыс. чел.

Доля = (555,9 / 1266,0) * 100% ≈ 43,91%.

При округлении до целых получаем 44%.

Ответ: 44

Анализ демографических данных — отличный пример того, как проект Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика учит применять математику в социальных науках и реальной жизни.

ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА 11 КЛАСС ОТВЕТЫ МОСКВА МЦКО

Задание 2

В каком регионе доля работающего населения была наименьшая в 2020 г.?

ВЕРТИКАЛЬ 11 МАРТА 2026 ОТВЕТЫ И ЗАДАНИЯ ЗДЕСЬ

Решение:

Вычислим доли для каждого региона:

Оренбургская: 45% (дано)

Пензенская: 44% (вычислено ранее)

Самарская: 50% (дано)

Саратовская: (1009,4 / 2443,0) * 100% ≈ 41,3%

Ульяновская: 45% (дано)

Наименьшая доля составляет 41,3% и принадлежит Саратовской области.

Ответ: Саратовская обл.

Для успешной работы с массивами информации необходимо развивать внимание к деталям, что является одной из ключевых целей направления Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика в школьном курсе.

ОТВЕТЫ И ЗАДАНИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА 11 КЛАСС

Задание 3

Найдите медианного представителя величины «численность работающего населения» — регион, в котором среднегодовая численность занятых граждан равна медиане этой величины или наиболее близка к ней.

МАТВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС (11 МАРТА): ОТВЕТЫ И ЗАДАНИЯ ПО СТАТИСТИКЕ

Решение:

Выпишем значения численности работающего населения по возрастанию:

539,8 (Ульяновская)

555,9 (Пензенская)

832,3 (Оренбургская)

1009,4 (Саратовская)

1597,4 (Самарская)

Так как значений 5 (нечетное число), медианой является третье значение в упорядоченном ряду. Это 832,3 тыс. чел.

Данное значение соответствует Оренбургской области.

Ответ: Оренбургская обл.

Поиск медианы и других характеристик распределения — это база, на которой строится вся современная аналитика, внедряемая через профильный курс Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

ГОТОВЫЕ ОТВЕТЫ: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА (МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС)

Задание 4

В чемпионате по гимнастике выступают 40 спортсменок, из них 6 — из России. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что третьей по счёту будет выступать гимнастка из России?

СКАЧАТЬ ОТВЕТЫ И ЗАДАНИЯ: МАТВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА

Решение:

При жеребьевке вероятность оказаться на любом конкретном по счету месте (в том числе третьем) одинакова для каждого участника и равна классической вероятности.

P = (Количество спортсменок из РФ) / (Общее количество) = 6 / 40 = 3 / 20 = 0,15.

Ответ: 0,15

Проект Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика помогает учащимся видеть, как математические законы работают в повседневных событиях, таких как жеребьевка на соревнованиях.

РЕШЕНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ 11 КЛАССА: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ ПО СТАТИСТИКЕ

Задание 5

В сборнике билетов по математике всего 80 билетов, в 22 из них встречается тема «Преобразование выражений». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не встретится вопрос по теме «Преобразование выражений».

ОТВЕТЫ 11 МАРТА: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС (ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА)

Решение:

Общее число билетов: n = 80.

Число билетов, где НЕТ темы «Преобразование выражений»: m = 80 - 22 = 58.

Вероятность: P = m / n = 58 / 80 = 29 / 40 = 0,725.

Ответ: 0,725

Понимание классического определения вероятности помогает объективно оценивать шансы на успех, что активно продвигает проект Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

11 КЛАСС МАТВЕРТИКАЛЬ: ЗАДАНИЯ С ОТВЕТАМИ (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)

Задание 6

Игральную кость бросили два раза. Известно, что сумма выпавших очков оказалась нечётной. При этом условии найдите вероятность того, что сумма выпавших очков больше чем 8.

ПОЛНЫЕ ОТВЕТЫ И ВАРИАНТЫ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ СТАТИСТИКА 11 КЛАСС

Решение:

Найдем все исходы, где сумма нечетная: (1,2), (1,4), (1,6) — 3 варианта. Так для каждого нечетного или четного первого броска. Всего нечетных сумм 18 (ровно половина из 36 возможных исходов).

Условие "сумма больше 8 и нечетная" означает суммы 9 и 11.

Варианты для суммы 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — 4 исхода.

Варианты для суммы 11: (5,6), (6,5) — 2 исхода.

Всего благоприятных исходов: m = 4 + 2 = 6.

Условная вероятность: P = 6 / 18 = 1/3.

Ответ: 1/3

Задачи на условную вероятность формируют глубокое понимание причинно-следственных связей, что является центральной темой программы Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ (ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА) — ОТВЕТЫ 11 КЛАСС

Задание 7

В классе 21 человек, среди них две подруги — Аня и Катя. Класс случайным образом делят на три группы по семь человек в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Катя окажутся в разных группах.

ЗАДАНИЯ + ОТВЕТЫ: 11 КЛАСС МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ (ВЕРОЯТНОСТЬ) 11.03

Решение:

Представим, что Аня уже заняла одно из мест в какой-либо группе.

Остается 20 свободных мест в классе (так как всего мест 21).

В той группе, куда попала Аня, осталось 6 свободных мест.

Вероятность того, что Катя попадет в ТУ ЖЕ группу: 6 / 20 = 0,3.

Вероятность того, что они окажутся в РАЗНЫХ группах (противоположное событие): 1 - 0,3 = 0,7.

Ответ: 0,7

Умение решать комбинаторные задачи на разбиение множеств отлично тренирует логику и является неотъемлемой частью курса Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

РЕАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ: МАТВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС (ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА)

Часть 2. Задания 8–11. Теоремы сложения и умножения вероятностей, формула Бернулли

Задание 8

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше +18°C, равна 0,84. Вероятность того, что температура окажется ниже +21°C, равна 0,61. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от +18 до +21°C.

ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА 11 КЛАСС: РЕШЕННЫЕ ЗАДАНИЯ МАТВЕРТИКАЛИ

Решение:

Пусть A = {T > 18}, B = {T < 21}.

Объединение этих событий покрывает всю числовую прямую (вероятность = 1).

Используем формулу сложения вероятностей: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

1 = 0,84 + 0,61 - P(18 < T < 21).

P(18 < T < 21) = 1,45 - 1 = 0,45.

Ответ: 0,45

Операции над событиями и формула сложения вероятностей — важнейшие инструменты для работы с непрерывными величинами, которые изучаются на уроках в рамках направления Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

СМОТРЕТЬ ОТВЕТЫ: ЗАДАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ 11 КЛАСС (СТАТИСТИКА)

Задание 9

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

МАТВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС 11.03.2026: ТОЧНЫЕ ОТВЕТЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Решение:

Событие "хотя бы одна не перегорит" противоположно событию "перегорят ВСЕ три лампы".

Вероятность того, что перегорят все три лампы: P(все) = 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,512.

Вероятность противоположного события: P = 1 - 0,512 = 0,488.

Ответ: 0,488

Оценка надежности систем через независимые испытания демонстрирует прикладную пользу математики, которую несет в себе Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

РАЗБОР ЗАДАНИЙ И ОТВЕТЫ: ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА (МАТВЕРТИКАЛЬ, 11 КЛАСС)

Задание 10

Проводится серия из 10 испытаний Бернулли. Вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна 0,4. Во сколько раз вероятность события «случится ровно 4 успеха» больше вероятности события «случится ровно 5 успехов»?

ОТВЕТЫ НА МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ВЕРТИКАЛЬ: 11 КЛАСС СТАТИСТИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ

Решение:

Используем формулу Бернулли: P_n(k) = C_n^k * p^k * q^n-k.

Здесь n = 10, p = 0,4, q = 0,6.

P(4) = C₁₀⁴ * 0,4⁴ * 0,6⁶

P(5) = C₁₀⁵ * 0,4⁵ * 0,6⁵

Найдем отношение P(4) / P(5):

(C₁₀⁴ / C₁₀⁵) * (0,4⁴ / 0,4⁵) * (0,6⁶ / 0,6⁵)

= (5 / 6) * (1 / 0,4) * 0,6 = (5 / 6) * (0,6 / 0,4) = (5 / 6) * 1,5 = (5 / 6) * (3 / 2) = 15 / 12 = 1,25.

Ответ: 1,25

Знание биномиального распределения и схемы Бернулли позволяет выпускникам блестяще справляться с профильными задачами, что является гордостью программы Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

ВСЕ ОТВЕТЫ И ЗАДАНИЯ: ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА 11 КЛАСС (МАТВЕРТИКАЛЬ)

Задание 11

Игральный кубик бросают три раза. Найдите математическое ожидание случайной величины «сумма выпавших очков».

РЕШЕНИЯ МАТВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС: ВЕРОЯТНОСТЬ, СТАТИСТИКА, ЗАДАНИЯ 11 МАРТА

Решение:

Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

E(сумма) = E(X₁) + E(X₂) + E(X₃).

Для одного броска игрального кубика математическое ожидание равно: (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5.

E(сумма) = 3,5 + 3,5 + 3,5 = 10,5.

Ответ: 10,5

Вычисление характеристик случайных величин, таких как математическое ожидание, формирует статистическую грамотность, заложенную в основу инициативы Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЕРТИКАЛЬ 11 КЛАСС (СТАТИСТИКА) — ЗАБРАТЬ ОТВЕТЫ И ЗАДАНИЯ

Часть 3. Задания 12–13. Выборочные исследования и сложные вероятности

Задание 12

С помощью выборочного исследования изучают цены на смартфон определённой модели. По данным из шести независимых салонов связи и интернет-магазинов получена следующая выборка значений: 17 500, 17 599, 17 099, 16 999, 18 000 и 17 499 руб. Сделайте оценку стандартного отклонения цен на эту модель смартфона на основе несмещённой оценки дисперсии. Результат округлите до целого числа рублей.

ОТВЕТЫ И ВАРИАНТЫ 11 КЛАСС: ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ

Решение:

1. Найдем выборочное среднее (X̄):

Сумма = 17500 + 17599 + 17099 + 16999 + 18000 + 17499 = 104696.

X̄ = 104696 / 6 ≈ 17449,33.

2. Найдем сумму квадратов отклонений от среднего:

(17500 - 17449,33)² + (17599 - 17449,33)² + (17099 - 17449,33)² + (16999 - 17449,33)² + (18000 - 17449,33)² + (17499 - 17449,33)²

≈ 2567 + 22401 + 122731 + 202800 + 303234 + 2467 ≈ 656200.

3. Несмещенная оценка дисперсии (S²) = Сумма квадратов / (n - 1) = 656200 / 5 = 131240.

4. Стандартное отклонение (S) = √131240 ≈ 362,27.

Округляем до целого числа рублей: 362.

Ответ: 362

Работа с реальными экономическими данными и оценка разброса значений делает курс Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика невероятно актуальным для современного рынка труда.

11 МАРТА 2026 МАТВЕРТИКАЛЬ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА ОТВЕТЫ

Задание 13

Стрелок стреляет в тире по восьми одинаковым мишеням. Вероятность попасть в каждую мишень при каждом выстреле одна и та же. Он попал во все мишени, причём последнюю мишень стрелок поразил одиннадцатым выстрелом. Какова вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил ровно четыре мишени? Результат округлите до тысячных.

ИТОГОВАЯ ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА ОТВЕТЫ

Решение:

Известно, что 8-я мишень сбита 11-м выстрелом. Это значит, что за первые 10 выстрелов было сбито ровно 7 мишеней (исходы выстрелов: 7 попаданий и 3 промаха).

Все возможные комбинации расположения 7 попаданий среди 10 выстрелов: C₁₀⁷ = 120.

Нам нужно найти вероятность того, что среди первых 5 выстрелов было ровно 4 попадания.

Следовательно, на оставшиеся 5 выстрелов (с 6-го по 10-й) должно приходиться 3 попадания (так как 4 + 3 = 7).

Количество благоприятных комбинаций = C₅⁴ * C₅³ = 5 * 10 = 50.

Искомая вероятность = 50 / 120 = 5 / 12 ≈ 0,4166...

Округляем до тысячных: 0,417.

Ответ: 0,417

Решение нестандартных вероятностных задач с использованием комбинаторики — это высший пилотаж, который успешно осваивают ученики благодаря проекту Математическая вертикаль: теория вероятностей и статистика.

ВЕРТИКАЛЬ 11 МАРТА 2026 ОТВЕТЫ И ЗАДАНИЯ ЗДЕСЬ

Желаем успеха! Вот мы и разобрали демонстрационный вариант итоговой диагностической работы от 11 марта 2026 года 11 класс.