Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 10 класс 1 группа все варианты на 15.10.2025
Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 10 класс 1 группа все варианты на 15.10.2025
10 класс – Вариант 1
У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 5 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 1°. Сколько сторон у большего многоугольника?
---
В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или безветренная.
- Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью \(\frac{1}{4}\) снова будет ветрено.
- Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью \(\frac{1}{6}\) будет безветренно.
Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено?
---
На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 12, 23, 12, 18, 27, 10, 12, 16, 27, 19, 16. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 11, 26, 28, 15, 11, 13, 17, 14, 19, 28, 13. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
В кулинарной академии 13 поваров, один из которых известен как «Спец по специям».
Эксперт сравнивает одно и то же блюдо, приготовленное любыми двумя кулинарами,
и решает, у кого получилось лучше. Ничья невозможная: либо блюдо повара A вкуснее,
чем у повара B, либо наоборот. Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
- [ ] Как минимум 12 поваров хотя бы раз проигрывают в сравнении
- [ ] Существует повар, проигравший соперникам хотя бы шесть раз
- [ ] Блюдо «Спеца по специям» эксперт оценивает хуже хотя бы пяти других
- [ ] Для каждого повара найдётся хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось лучше, и хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось хуже
---
Какое наименьшее значение принимает функция \( f(f(tx)) \), если \( f(x) = x^2 + 12x + 34? \)
---
На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка \( Q \) соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь).
Найдите расстояние от точки \( Q \) до стороны \( AB \).
Найдите длину отрезка \( AQ \).
У Жора есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число \( n \), то значение дроби увеличится в \( 3 \) раза, а если уменьшит на \( n \), то увеличится в \( 4 \) раза. Найдите \( n \).
---
У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число \( N \), записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение \( N \) может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
10 класс – Вариант 2
У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 0.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?
---
В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая.
- Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью \( \frac{4}{5} \) снова будет солнечно.
- Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью \( \frac{2}{3} \) будет солнечно.
Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно?
---
На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 23, 21, 11, 16, 24, 20, 11, 14, 25, 14, 20.
А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 25, 10, 13, 14, 26, 20, 25, 12, 23, 13, 12.
Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
В кулинарной академии 13 поваров, один из которых известен как «Спец по специям».
Эксперт сравнивает одно и то же блюдо, приготовленное любыми двумя кулинарами, и решает, у кого получилось лучше. Ничья невозможна: либо блюдо повара \( A \) вкуснее, чем у повара \( B \), либо наоборот. Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
- [ ] Как минимум 12 поваров хотя бы раз проигрывают в сравнении
- [ ] Существует повар, проигравший соперникам хотя бы шесть раз
- [ ] Блюдо «Спеца по специям» эксперт оценивает хуже хотя бы пяти других
- [ ] Для каждого повара найдётся хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось лучше, и хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось хуже
---
Какое наименьшее значение принимает функция \( f(f(f(x))) \), если \( f(x) = x^2 + 14x + 47? \)
---
На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка \( Q \) соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь).
Найдите расстояние от точки \( Q \) до стороны \( AB \).
Найдите длину отрезка \( AQ \).
У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число \( n \), то значение дроби увеличится в \( 6 \) раз, а если уменьшит на \( n \), то увеличится в \( 7 \) раз. Найдите \( n \).
---
У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число \( N \), записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение \( N \) может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
10 класс – Вариант 3
У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 6 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на \( 2^\circ \). Сколько сторон у большего многоугольника?
---
В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или безветренная.
- Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью \(\frac{1}{5}\) снова будет ветрено.
- Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью \(\frac{2}{3}\) будет безветренно.
Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено?
---
На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 25, 20, 26, 24, 17, 26, 26, 12, 16, 26, 12.
А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 26, 20, 21, 10, 12, 18, 17, 23, 12, 19, 21.
Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
На бирже 13 компаний. Для каждой пары компаний верно, что ровно одна из них купила акции другой: либо компания \( A \) вложилась в компанию \( B \), либо компания \( B \) вложилась в компанию \( A \). Одна из компаний известна под названием «Альфа». Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
- [ ] Как минимум 12 компаний получили инвестиции хотя бы от одной другой
- [ ] В компанию «Альфа» инвестировали не более 5 других
- [ ] Существует компания, которая вложилась как минимум в 6 других
- [ ] Есть компания, которая вложилась ровно в 6 других компаний
---
Какое наименьшее значение принимает функции \( f(f(f(x))) \), если \( f(x) = x^2 + 16x + 61? \)
---
На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка \( Q \) соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь).
Найдите расстояние от точки \( Q \) до стороны \( AB \).
Найдите длину отрезка \( AQ \).
У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число \( n \), то значение дроби увеличится в 4 раза, а если уменьшит на \( n \), то увеличится в 5 раз. Найдите \( n \).
---
У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число \( N \), записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение \( N \) может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
10 класс – Вариант 4
У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на \( 1.5^\circ \). Сколько сторон у меньшего многоугольника?
---
В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая.
- Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью \( \frac{3}{4} \) снова будет солнечно.
- Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью \( \frac{1}{3} \) будет солнечно.
Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно?
---
На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 22, 21, 27, 26, 17, 24, 22, 14, 18, 22.
А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 24, 20, 29, 29, 15, 20, 10, 22, 10, 14, 14.
Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
В кулинарной академии 13 поваров, один из которых известен как «Спец по специям».
Эксперт сравнивает одно и то же блюдо, приготовленное любыми двумя кулинарами, и решает, у кого получилось лучше. Ничья невозможна: либо блюдо повара A вкуснее, чем у повара B, либо наоборот. Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
- [ ] Как минимум 12 поваров хотя бы раз проигрывают в сравнении
- [ ] Для каждого повара найдётся хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось лучше, и хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось хуже
- [ ] Блюдо «Спеца по специям» эксперт оценивает хуже хотя бы пяти других
- [ ] Существует повар, проигравший соперникам хотя бы шесть раз
---
Какое наименьшее значение принимает функция \( f(f(f(x)) \), если \( f(x) = x^2 + 12x + 34? \)
---
На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка \( Q \) соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь).
Найдите расстояние от точки \( Q \) до стороны \( AB \).
Найдите длину отрезка \( AQ \).
У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число \( n \), то значение дроби увеличится в 5 раз, а если уменьшит на \( n \), то увеличится в 6 раз. Найдите \( n \).
---
У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 8, 14, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 16, 17, 13, 6, 21. Юра выбирает натуральное число \( N \), записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение \( N \) может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.