Муниципальный этап ВОШ 7-11 класс Математика Московская область (50 регион) ответы и задания 08.11.2025
11 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
11.1. При каком наименьшем n в некоторые клетки таблицы 𝑛 × 𝑛 можно вписать числа от 1 до 8 (каждое из этих восьми чисел ровно один раз) так, чтобы сумма чисел в любой строке и сумма чисел в любом столбце были бы меньше 10?
Полные ответы уже здесь (Жми)
11.2. Найдите значение суммы
𝑆= (22 + 2 ∙5 + 52) + (52 + 5 ∙8 + 82) + (82 + 8 ∙11 + 112) + ⋯
+(922 + 92 ∙95 + 952) + (952 + 95 ∙98 + 982)
11.3. Есть 80 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 80 (каждое – по одному разу). Можно ли их разбить на 20 наборов по 4 карточки так, чтобы в каждом из наборов число на одной из карточек было бы либо в 3 раза, либо в 4 раза меньше, чем сумма чисел трех оставшихся карточек набора?
Полные ответы уже здесь (Жми)
11.4. Дан пятиугольник, описанный около окружности. Назовём его сторону a хорошей, если треугольник, сложенный из неё и двух её соседних сторон, является прямоугольным с гипотенузой a. Может ли этот пятиугольник иметь хотя бы три хорошие стороны?
Полные ответы уже здесь (Жми)
11.5.
Назовем квадроугольником фигуру, которая состоит из трехклеточного прямоугольника и трех примыкающих к нему треугольников, каждый из которых является половиной клетки (по одному треугольнику к каждой из трех клеток прямоугольника). Ниже приведены примеры двух квадроугольников.
Можно ли разрезать клетчатую фигуру, состоящую из 4 клетчатых квадратов А размера
88, составленных в виде фигуры т-тетрамино (см. рисунок) на квадроугольники?
А
А
А
А
10 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
10.1. Вася написал на доске несколько различных трехзначных чисел. Оказалось, что сумма никаких двух из написанных на доске чисел не равна 1000. Какое максимальное количество чисел мог написать Вася?
10.2. Дан квадратный трёхчлен 𝑓(𝑥). Известно, что существуют пары
различных чисел (𝑚, 𝑘) таких, что 𝑓(𝑚) 𝑓(𝑘) = 𝑘 𝑚. Назовем такие пары хорошими.
Докажите, что значение выражения 𝑚∙𝑘 во всех хороших парах одинаково.
Полные ответы уже здесь (Жми)
10.3. На доске были написаны не обязательно разные неотрицательные целые
числа. Коля вычел из каждого исходного числа 4, затем сложил модули всех
получившихся чисел, и получил сумму 𝑆1. Вася вычел из каждого исходного
числа на доске 5, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил
сумму 𝑆2 Наконец Андрей вычел из каждого исходного числа на доске 6, затем
сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму 𝑆3. Сколько пятерок
было написано на доске?
Полные ответы уже здесь (Жми)
10.4. Есть 24 нечётных натуральных чисел. Оказалось, что их можно разбить
на 8 троек так, что в каждой тройке одно из чисел равно произведению двух
других. Может ли сумма этих 24 чисел равняться 2025?
10.5. В трапеции ABCD длина боковой стороны CD равна сумме длин
оснований. Окружность с центром в точке C, проходящая через B, пересекает
отрезки DB и DC в точках E и F соответственно. Докажите, что точки D, A, E, F
лежат на одной окружности.
9 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
9.1. Дан квадратный трёхчлен 𝑓(𝑥). Известно, что линейная функция 𝑦=
𝑓(𝑥+ 1) −𝑓(𝑥) обращается в ноль только при 𝑥= 2025. При каком значении
аргумента обращается в ноль функция 𝑦= 𝑓(𝑥−1) −𝑓(𝑥)?
9.2. На доске написаны четыре числа: 3, 4, 5 и 10. За один шаг можно выбрать
любые три из них, первое умножить на 3, второе – на 5, а третье – на 7 (при
этом три старых числа стирают, а на их место записывают три новых). Можно
ли через несколько шагов получить на доске четыре равных числа?
9.3. Найдите значение суммы
𝑆= (22 + 2 ∙4 + 42) + (42 + 4 ∙6 + 62) + (62 + 6 ∙8 + 82) + ⋯
+(982 + 98 ∙100 + 1002) + (1002 + 100 ∙102 + 1022)
9.4. В треугольнике ABC медиана CM образует со стороной AC прямой угол.
На стороне BC отмечена точка X так, что 𝐶𝑀𝐵 = 𝐶𝑀𝑋. Найдите, чему
равно отношение 𝐵𝑋: 𝑋𝐶.
Полные ответы уже здесь (Жми)
9.5. Взяли четыре клетчатых квадрата размера 8 × 8 (на рисунке обозначен А)
и составили из них фигуру вида т-тетрамино (см. рисунок).
А
А
А
А
Все клетки исходных квадратов разделили одной из диагоналей на два
треугольника. В результате получилось 8842 треугольников. Пару таких
треугольников назовем соседями, если у них есть общий катет. Можно ли
разбить все треугольники на непересекающиеся пары соседей?
8 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи,записать в каждой из них ответ и привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Время выполнения заданий -235 минут.
Полные ответы уже здесь (Жми)
8.1.В девятизначном числе пронумеровали слева направо все цифры числами от 1 до 9, после чего все цифры с чётными номерами в том же порядке переставили на первые четыре места, а все цифры с нечётными номерами в том же порядке переставили на последние 5 мест. Получившееся число совпало с исходным. Какое наибольшее количество различных цифр может быть в таком числе?
8.2.На биссектрисе острого угла отмечены точки D иE так, что и (точка D лежит между B иE). Докажите, что.
Полные ответы уже здесь (Жми)
8.3.На доске написаны четыре числа: 3, 4, 5 и 7.За один шаг можно выбрать любые три из них, первое умножить на 3, второе – на 4, а третье – на 7 (при этом тристарыех числа стирают, а на их место записывают три новых).Можно ли через несколько шагов получить на доске четыре равных числа?
8.4. Найдите значение суммы
8.5.Назовемквадроугольником фигуру, которая состоит из клетки и трех примыкающих к ней треугольников, каждый из которых является половиной клетки. Ниже приведены примеры двухквадроугольников.
Можно ли разрезать клетчатую фигуру, состоящую из 4 клетчатых квадратов А размера 88, составленных в видефигуры т-тетрамино(см. рисунок) наквадроугольники?