Ответы ВсОШ математика (Московская область) 8 ноября 2025
Полные и подробные ответы с решениями всех задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ) по математике 2025-2026 учебного года для Московской области (50 регион). Вся информация о проведении олимпиады 8 ноября 2025 года: точные формулировки заданий для 8, 9, 10 и 11 классов, пошаговые решения задач, критерии оценивания и методические рекомендации. Особое внимание уделено сложным задачам №4-5 каждого класса, включая комбинаторные задачи, геометрические построения, теорию чисел и нестандартные уравнения. Материалы помогут учащимся подготовиться к региональному этапу, учителям - организовать эффективную подготовку школьников, а родителям - контролировать успехи детей в олимпиадной математике. Все решения представлены в соответствии с официальными требованиями жюри ВсОШ с полными обоснованиями и альтернативными способами решения.
### Класс 8
Задание 1: Из цифр 0, 1, 2, …, 9 составили два пятизначных числа А и В (все цифры использованы, на 0 число начинаться не может). Может ли оказаться так, что число А делится на каждую цифру числа В, кроме 0, а число В делится на каждую цифру числа А?
Задание 2: Среди 22 человек 11 лжецов (они всегда лгут) и 11 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 11 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 11 из них ответили «да», а 11 ответили «нет»?
Задание 3: На стороне AB треугольника ABC выбрана точка P. Оказалось, что угол APC в два раза больше угла ABC, угол BPC в два раза больше угла BAC. Найдите PC, если MN = 4, где точка M – середина стороны AC, а точка N – середина стороны BC.
Задание 4: Олег утверждает, что какие бы 80 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N?
Задание 5: Можно ли выбрать числа a1, a2, ..., a10 так, что произведения a1a2a3a4, a2a3a4a5, ..., a8a9a10a1, a9a10a1a2, a10a1a2a3, записанные в некотором порядке, образовывали последовательные натуральные числа 21, 22, 23, ..., 30?
### Класс 9
Задание 1: Среди 32 человек 16 лжецов (они всегда лгут) и 16 рыцарей (они всегда говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более 3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?». Было получено 8 ответов «0», 8 ответов «1», 8 ответов «2» и 8 ответов «3». Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 32 людям?
Задание 2: Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не обязательно записанных по порядку)?
Задание 3: При решении уравнения \((x^2 - ax + c)(x^2 - bx + c) = 0\), где \(a, b, c\) – некоторые натуральные числа, причём \(a > b\). Катя обнаружила, что уравнение имеет четыре корня, и эти корни являются последовательными натуральными степенями тройки (например, \(3^3, 3^4, 3^5, 3^6\)). Найдите все простые числа, которые могут быть делителями числа \(3a - 4b\).
Задание 4: Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Прямая, проходящая через точку \(A\), пересекает отрезки \(BD\) и \(CD\) в точках \(X\) и \(Y\) соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников \(ABX\) и \(ACY\), касаются.
Задание 5: Можно ли выбрать числа \(a_1, a_2, ..., a_{10}\) так, что произведения \(a_1a_2a_3a_4, a_2a_3a_4a_5, ..., a_8a_9a_{10}a_1, a_9a_{10}a_1a_2, a_{10}a_1a_2a_3\), записанные в некотором порядке, образованном последовательные натуральные числа \(11, 12, 13, ..., 20\)?
### Класс 10
Задание 1: На доску выписывают последовательность цифр 121122111222111122221… Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по 10101 включительно, считая слева?
Задание 2: На городских соревнованиях по велосипедному спорту была придумана следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время, начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса, измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 11 км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти скорости были постоянными.
Задание 3: При некотором значении параметра q уравнение (x[2] + 10x + q)(x[2] + 10x + q + 18) = 0 имеет четыре различных корня, и эти корни образуют арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии?
Задание 4: Выпуклый четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что AB = 10, BC = CD = 25 и AD = 50. Известно, что сумма углов A и D этого четырёхугольника меньше 180°. Чему может равняться эта сумма?
Задание 5: Артём задумал действительные числа a1, a2, ..., a15. После чего он в некотором порядке выписал какие-то из произведений (возможно, все) a1a2a3, a2a3a4, ..., a13a14a15, a14a15a1, a15a1a2. Получился ряд из нечётных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, ..., 2k + 1. Какое наибольшее k могло у него получиться?
### Класс 11
Задание 1: Среди 14 человек 7 лжецов (они всегда лгут) и 7 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?
Задание 2: Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.
Задание 3: Петя вырезал из картона 19 треугольников, у каждого из которых одна из сторон (будем называть её основанием) равна 2, а две другие (будем называть их боковыми сторонами) – целочисленные. Затем он сложил эти треугольники так, что их вершины совпали, а основания образовали 19-звенную пространственную замкнутую ломаную. Докажите, что если у одного из треугольников есть боковая сторона длины 25, то сумма периметров всех треугольников не меньше 808.
Задание 4: На тригонометрической окружности отметили вершины правильного 28-угольника, причём одна вершина попала в точку (1; 0). Два игрока по очереди красят по одной вершине своим цветом. Дважды красить вершины нельзя. Игра заканчивается, когда покрашены все вершины. После чего первый игрок считает сумму S1 – сумму модулей синусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом первого игрока. Второй игрок считает сумму S2 – сумму модулей косинусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом второго игрока. Если S1 > S2, то выигрывает первый игрок. Иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
Задание 5: Верно ли, что у уравнения a[3] – b[3] = c[4] есть решение в натуральных числах такое, что с > 52025?