Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 9 класс 1 группа все варианты на 15.10.2025
Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 9 класс 1 группа все варианты на 15.10.2025
9 класс – Вариант 1
Жора решал уравнение \( 11z = b \), где неизвестная переменная \( z \), а \( b \) — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при \( z \) и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при \( z \) и число в правой части на 7?
---
Про натуральное число \( A \) известно, что оно делится на 24 и не делится на 36, а про натуральное число \( B \) известно, что оно делится на 30 и не делится на 60. Какие утверждения о числе \( C = A - B \) могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
- [ ] \( C \) делится на 6
- [ ] \( C \) не делится на 12
- [ ] \( C \) делится на 4
- [ ] \( C \) не делится на 35
- [ ] \( C \) не делится на 3
---
У Ивана есть большая корзина с 940 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Периметр трапеции \( ABCD \) (\( AD \parallel BC \)) равен 80, а расстояние между основаниями — 4; длина отрезка \( AB \) указана на рисунке.
Периметры четырёхугольников \( ABEF \) и \( CDFE \) равны; площади этих четырёхугольников также равны.
Найдите длину отрезка \( CD \).
Найдите площадь четырёхугольника \( ABCD \).
---
Про действительные числа \( a \), \( b \) и \( c \) известно, что
\[2 \cdot (2a\sqrt{5} + b\sqrt{15} + c\sqrt{19}) = a^2 + b^2 + c^2 + 54.\]
Найдите значение выражения \( a^2 + b^2 + 2c^2 \).
---
Окружности \( \Omega \) и \( \omega \) пересекаются в точках \( A \) и \( B \), \( O \) — центр окружности \( \omega \). Лучи \( CA \) и \( CB \) пересекают окружность \( \Omega \) в точках \( D \) и \( E \) соответственно. Оказалось, что точка \( O \) лежит на отрезке \( BC \). На рисунке указаны значения углов \( \angle BCA \) и \( \angle BDA \).
Найдите градусную меру угла \( \angle EAB \).
На большой клетчатой плоскости можно размещать прямоугольники размером \( 4 \times 9 \, \text{так} \), что каждый прямоугольник покрывает ровно 36 клеток. Прямоугольники можно размещать как горизонтально, так и вертикально, при этом они могут перекрываться.
Найдите наибольшее целое число \( N \), при котором невозможно покрыть ровно \( N \) клеток таким способом.
---
Исследователи опросили \( N \) человек, чтобы узнать, какие из трёх продуктов по уходу за кожей — \( A, B, C \) — они используют. Результаты опроса:
- 50 человек используют \( B \);
- 61 человек НЕ пользуется \( A \);
- 13 человек НЕ пользуются \( C \);
- 74 человека используют как минимум два из трёх видов \( A, B, C \).
Каждый человек мог выбрать любую комбинацию средств (в том числе не выбрать ни одно).
Найдите минимально возможное значение \( N \).
---
9 класс – Вариант 2
Жора решал уравнение \( 19x = b \), где неизвестная переменная \( x \), а \( b \) — некоторое число.
Когда он увеличил коэффициент при \( x \) и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при \( x \) и число в правой части на 3?
---
Про натуральное число \( A \) известно, что оно делится на 60 и не делится на 90,
а про натуральное число \( B \) известно, что оно делится на 36 и не делится на 48. Какие утверждения о числе \( C = A - B \) могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
- [ ] \( C \) делится на 18
- [ ] \( C \) не делится на 4
- [ ] \( C \) не делится на 9
- [ ] \( C \) делится на 6
- [ ] \( C \) не делится на 20
---
У Ивана есть большая корзина с 970 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Периметр трапеции *ABCD* (*AD* || *BC*) равен 90, а расстояние между основаниями — 6; длина отрезка *AB* указана на рисунке.
Периметры четырёхугольников *ABEF* и *CDFE* равны; площади этих четырёхугольников также равны.
Найдите длину отрезка *CD*.
Найдите площадь четырёхугольника *ABCD*.
---
Про действительные числа \( a \), \( b \) и \( c \) известно, что
\[2 \cdot (2a\sqrt{5} + b\sqrt{15} + c\sqrt{19}) = a^2 + b^2 + c^2 + 54.\]
Найдите значение выражения \( a^2 + b^2 + 2c^2 \).
---
Окружности \(\Omega\) и \(\omega\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), \(O\) — центр окружности \(\omega\). Лучи \(CA\) и \(CB\) пересекают окружность \(\Omega\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Оказалось, что точка \(O\) лежит на отрезке \(EC\). На рисунке указаны значения углов \(\angle BCA\) и \(\angle BDA\).
Найдите градусную меру угла \(\angle EAB\).
На большой клетчатой плоскости можно размещать прямоугольники размером \( 4 \times 9 \, \text{так} \), что каждый прямоугольник покрывает ровно 36 клеток. Прямоугольники можно размещать как горизонтально, так и вертикально, при этом они могут перекрываться.
Найдите наибольшее целое число \( N \), при котором невозможно покрыть ровно \( N \) клеток таким способом.
---
Исследователи опросили \( N \) человек, чтобы узнать, какие из трёх продуктов по уходу за кожей — \( A, B, C \) — они используют. Результаты опроса:
- 50 человек используют \( B \);
- 61 человек НЕ пользуется \( A \);
- 13 человек НЕ пользуются \( C \);
- 74 человека используют как минимум два из трёх видов \( A, B, C \).
Каждый человек мог выбрать любую комбинацию средств (в том числе не выбрать ни одно).
Найдите минимально возможное значение \( N \).
---
9 класс – Вариант 3
Жора решал уравнение \( 13x = b \), где неизвестная переменная \( x \), а \( b \) — некоторое число.
Когда он увеличил коэффициент при \( x \) и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при \( x \) и число в правой части на 5?
---
Про натуральное число \( A \) известно, что оно делится на 50 и не делится на 75,
а про натуральное число \( B \) известно, что оно делится на 60 и не делится на 90. Какие утверждения о числе \( C = A - B \) могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
- [ ] \( C \) делится на 5
- [ ] \( C \) делится на 6
- [ ] \( C \) не делится на 75
- [ ] \( C \) делится на 100
- [ ] \( C \) не делится на 10
---
У Ивана есть большая корзина с 880 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Периметр трапеции \( ABCD \) (\( AD \parallel BC \)) равен 60, а расстояние между основаниями — 7; длина отрезка \( AB \) указана на рисунке.
Периметры четырёхугольников \( ABEF \) и \( CDFE \) равны; площади этих четырёхугольников также равны.
Найдите длину отрезка \( CD \).
Найдите площадь четырёхугольника \( ABCD \).
---
Про действительные числа \( a, b \) и \( c \) известно, что
\[2 \cdot (3a\sqrt{2} + 2b\sqrt{3} - c\sqrt{19}) = a^2 + b^2 + c^2 + 49.\]
Найдите значение выражения \( 2a^2 + 2b^2 + c^2 \).
---
Окружности \( \Omega \) и \( \omega \) пересекаются в точках \( A \) и \( B \), \( O \) — центр окружности \( \omega \). Лучи \( CA \) и \( CB \) пересекают окружность \( \Omega \) в точках \( D \) и \( E \) соответственно. Оказалось, что точка \( O \) лежит на отрезке \( BC \). На рисунке указаны значения углов \( \angle BCA \) и \( \angle BDA \).
Найдите градусную меру угла \( \angle EAB \).
На большой клетчатой плоскости можно размещать прямоугольники размером \( 4 \times 9 \) так, что каждый прямоугольник покрывает ровно 36 клеток. Прямоугольники можно размещать как горизонтально, так и вертикально, при этом они могут перекрываться.
Найдите наибольшее целое число \( N \), при котором невозможно покрыть ровно \( N \) клеток таким способом.
---
Исследователи опросили \( N \) человек, чтобы узнать, какие из трёх продуктов по уходу за кожей — \( A, B, C \) — они используют. Результаты опроса:
- 39 человек используют \( B \);
- 59 человек НЕ пользуются \( A \);
- 24 человека НЕ пользуются \( C \);
- 58 человек используют как минимум два из трёх видов \( A, B, C \).
Каждый человек мог выбрать любую комбинацию средств (в том числе не выбрать ни одно).
Найдите минимально возможное значение \( N \).