Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 7 класс 1 группа все варианты на 15.10.2025
Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 7 класс 1 группа все варианты на 15.10.2025
7 класс – Вариант 1
1. Если от трёхзначного числа отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 8, оно разделится на 8; если отнять 9 — оно разделится на 9. Найдите это число.
---
2. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 3 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 20 % больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
---
3. В каждой клетке квадрата \( 12 \times 12 \) лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
4. В одной из двух канистр содержится 14 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 1003 переливаний? Ответ выразите в литрах.
---
5. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 20, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1.
Определите минимально возможное количество его вершин.
Определите максимально возможное количество его вершин.
---
6. Все числа от 1 до 600 выписали подряд: 123456789101112 ... 599600. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 3 стоит цифра 4?
7. В клетках таблицы \( 2 \times 2 \) записаны положительные числа. Витя и Женя выбрали клетку и заштриховали её серым. Витя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, а Женя проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в \( 4 \) раза меньший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
---
8. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны \( 10 \, \text{мм/с} \) и \( 30 \, \text{мм/с} \), а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
---
7 класс – Вариант 2
Три одноклассника вернулись в школу с игры в футбол. Учитель спросил у каждого, сколько они вместе забили мячей, и дети ответили следующее.
Семён: «Больше пяти»;
Дима: «Больше девяти»;
Миша: «Больше шести».
Сколько могло быть забито мячей, если известно, что два одноклассника сказали правду, а третий солгал? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Пусть \( A \) — двузначное число, не кратное 10, \( B \) — четырёхзначное число. Известно, что \( A \) процентов от \( B \) равны 200. Найдите \( A \) и \( B \).
---
Даша нарисовала в тетради четырёхугольник, а затем измерила линейкой четыре его стороны и одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Даша записала по возрастанию:
2, 3, 4.3, 8, 12.1.
Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
В треугольнике \( ABC \) угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины \( B \), равен \( 30^\circ \), а угол \( C \) равен \( 20^\circ \). Найдите угол \( A \). Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Сергей придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После двенадцати таких вычитаний впервые получился ноль.
Какое наименьшее число мог придумать Сергей?
Какое наибольшее число мог придумать Сергей?
---
Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа \( x \). Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа \( y \), причём \( y \) кратно \( x \) и \( y > x \). Найдите \( x^2 \).
На доске записано семизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных восьмизначных чисел может получиться?
---
Найдите все натуральные \( n < 70 \), для которых числа
\[\frac{n + 21}{n} = \frac{n}{n + 21}\]
записываются в виде конечных десятичных дробей. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
7 класс – Вариант 3
Трое рабочих копали ямы. Начальник спросил у каждого, сколько они вместе выкопали ям, и рабочие ответили следующее:
Иван: «Больше десяти»;
Пётр: «Больше восемнадцати»;
Василий: «Больше пятнадцати».
Сколько могло быть выкопань ям, если известно, что два рабочих сказали правду, а третий солгал? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Пусть \( A \) — двузначное число, не кратное 10, \( B \) — трёхзначное число. Известно, что \( A \) процентов от \( B \) равны 320. Найдите \( A \) и \( B \).
---
Катя нарисовала в тетради четырёхугольник, а затем измерила линейкой четыре его стороны и одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Катя записала по возрастанию:
1, 4, 4.6, 9, 13.3.
Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
В треугольнике \( ABC \) угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины \( B \), равен \( 25^\circ \), а угол \( C \) равен \( 15^\circ \). Найдите угол \( A \). Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Антон придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После пятнадцати таких вычитаний впервые получился ноль.
Какое наименьшее число мог придумать Антон?
Какое наибольшее число мог придумать Антон?
---
Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа \( x \). Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа \( y \), причём \( y \) кратно \( x \) и \( y > x \). Найдите \( y^2 \).
На доске записано восьмизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных девятизначных чисел может получиться?
---
Найдите все натуральные \( n < 70 \), для которых числа
\[\frac{n + 9}{n} = \frac{n}{n + 9}\]
записываются в виде конечных десятичных дробей. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
7 класс – Вариант 4
Три сестры ходили за грибами. Мама спросила у каждой, сколько они вместе собрали грибов, и дети ответили следующее.
Аня: «Больше восьми»;
Маша: «Больше двадцати двух»;
Ирина: «Больше девятнадцати».
Сколько могло быть собрано грибов, если известно, что две сестры сказали правду, а третья солгала? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Пусть \( A \) — двузначное число, не кратное 10, \( B \) — трёхзначное число. Известно, что \( A \) процентов от \( B \) равны 400. Найдите \( A \) и \( B \).
---
Вася нарисовал в тетради четырёхугольник, а затем измерил линейкой четыре его стороны и одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Вася записал по возрастанию:
1, 2, 2.8, 5, 7.5.
Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
В треугольнике \( ABC \) угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины \( B \), равен \( 20^\circ \), а угол \( C \) равен \( 35^\circ \). Найдите угол \( A \). Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Роман придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После тринадцати таких вычитаний впервые получился ноль.
Какое наименьшее число мог придумать Роман?
Какое наибольшее число мог придумать Роман?
---
Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа \( x \). Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа \( y \), причём \( y \) кратно \( x \) и \( y > x \). Найдите \( x \).
На доске записано шестизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных семизначных чисел может получиться?
---
Найдите все натуральные \( n < 70 \), для которых числа
\[\frac{n + 18}{n} = \frac{n}{n + 18}\]
записываются в виде конечных десятичных дробей. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.