Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 11 класс 1 группа все варианты на 15.10.2025
Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 7 класс 11 группа все варианты на 15.10.2025
11 класс – Вариант 1
На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел
\( a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_6 \). Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди \( a_i \) чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать 0. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 5, 3, 1. Какая последовательность была записана на доске?
---
У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 8 карточек с числами от 1 до 8. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется чётной?
---
Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первую треть монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 48 % монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
На сторонах \( AC \) и \( BC \), а также на продолжении стороны \( AB \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечены точки \( F \), \( D \) и \( E \) соответственно так, что \( D \) — середина \( EF \). Длины отрезков \( BD \) и \( DC \) приведены на рисунке.
Найдите \( EF^2 \).
---
Коэффициенты многочлена \( P(x) \) — неотрицательные целые числа. Известно, что
\[P(2) = 100,\]
\[P(P(2)) = 201061016.\]
Найдите значение \( P(0) \).
Найдите значение \( P(1) \).
---
Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 64. Затем Петя называет своё число — от 1 до 93. После этого Наташа называет число от 1 до 96. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 100, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Пусть \( x, y, z \) — такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства:
- \( x^{log_2(x)} = 2^3 \cdot 3^4 \),
- \( y^{log_2(x)} = 2^4 \cdot 3^8 \),
- \( z^{log_2(x)} = 2^3 \cdot 3^{12} \).
Найдите значение произведения \( xyz \). Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии \( d \) друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом \( 3 \, \text{метра} \). Пусть \( l \) — прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке \( O \) на той же плоскости, причём проекция \( O \) на \( l \) совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки \( O \) до точки \( l \) на рисунке.
При разных значениях \( d \) число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны.
Башня \( T \) полностью видна, если отрезки касательных на точки \( O \) до башни \( T' \) не пересекают (по могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.
---
11 класс – Вариант 2
На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел
\( a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_5 \). Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди
\( a_i \) чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока
ему не пришлось бы написать 0. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались
числа 5, 3, 2, 1. Какая последовательность была записана на доске?
---
У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 6 карточек с числами от 1 до 6. Сначала
он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них
совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова
вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется нечётной?
---
Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первые две трети монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 20 % монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
На сторонах \( AC \) и \( BC \), а также на продолжении стороны \( AB \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечены точки \( F \), \( D \) и \( E \) соответственно так, что \( D \) — середина \( EF \). Длины отрезков \( BD \) и \( DC \) приведены на рисунке.
Найдите \( EF^2 \).
---
Коэффициенты многочлена \( P(x) \) — неотрицательные целые числа. Известно, что
\[P(2) = 100,\]
\[P(P(2)) = 201061016.\]
Найдите значение \( P(0) \).
Найдите значение \( P(1) \).
---
Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 64. Затем Петя называет своё число — от 1 до 93. После этого Наташа называет число от 1 до 96. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 100, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Пусть \( x, y, z \) — такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства:
- \( x^{log_2(x)} = 2^3 \cdot 3^4 \),
- \( y^{log_2(x)} = 2^4 \cdot 3^8 \),
- \( z^{log_2(y)} = 2^3 \cdot 3^{12} \).
Найдите значение произведения \( xyz \). Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.